椭圆数学微课

大家好，我是小冯老师，这节课进入圆锥曲线部分的学习了，今天我们要讲的是，椭圆的定义，和它的标准方程。下面，我们先看一个视频，带大家初步认识一下什么是椭圆

大家有没有发现，椭圆的画法和圆很像圆是到圆心距离相等的点的集合，虽然在椭圆里没有圆心的概念，但是，每个椭圆都有一左一右两个不同焦点，那椭圆上的点和这两个焦点有什么关系呢？我们可以发现，椭圆上每一个点到这两个焦点的距离之和都是一个定值。这个定值其实就是2{a:ei1}.这个定义告诉大家，如果平面上有两个固定不动的点，然后呢，还有另外几个点，他们到两焦点的距离和为定值的话，这些点在同一个椭圆上。

此外，椭圆中，有三个特殊的符号需要我们知道，它们是{a:ei1},{b:bi4},{c:sei1}{c:sei1}是焦点到圆心的距离，{a:ei1}是椭圆中心到椭圆上最远的点的距离，也就是长半轴的长度，{b:bi4}是短半轴的长度，是椭圆中心到最近的点的距离。要注意，{a:ei1}{b:bi4}是长半轴和短半轴的长度，而长轴长和短轴长分别是2{a:ei1}2{b:bi4},这一点很容易搞混，所以要特别记忆。此外，{a:ei1}{b:bi4}{c:sei1}之间还有一层关系，就是{a:ei1}的平方等于{b:bi4}的平方加{c:sei1}的平方，这个关系式在我们马上推到椭圆的标准方程的时候就会用到。

接下来，我给大家证明一下{a:ei1}方等于{b:bi4}方加{c:sei1}方这个关系式，我们取一点{K:kei4}，{K:kei4}是椭圆与{y:wai4}轴正半轴的焦点，我们由椭圆的定义，可以得到{K:kei4}{F:ai2}{F:fu5}1加{K:kei4}{F:ai2}{F:fu5}2等于2{a:ei1},从图上我们可以看出来三角形{K:kei4}{F:ai2}{F:fu5}1{F:ai2}{F:fu5}2是等腰三角形，所以{K:kei4}{F:ai2}{F:fu5}1等于{K:kei4}{F:ai2}{F:fu5}2等于{a:ei1},在直角三角形{K:kei4}{o:ou1}{F:ai2}{F:fu5}2中，{K:kei4}{o:ou1}的平方加{O:ou1}{F:ai2}{F:fu5}2的平方等于{K:kei4}{F:ai2}{F:fu5}2的平方，所以{a:ei1}方等于{b:bi4}方加{c:sei1}方,知道了这个关系式

下面，我们就可以推导椭圆的标准方程了，首先，在椭圆上随便取一点{P:pi4},我们设它的坐标为{x:ai2}{x:ke5}{x:si5}{y:wai4},，根据定义，我们可以得到{P:pi4}{F:ai2}{F:fu5}1的长度加{P:pi4}{F:ai2}{F:fu5}2的长度等于2{a:ei1}

之后利用两点间距离公式，将{P:pi4}{F:ai2}{F:fu5}1{P:pi4}{F:ai2}{F:fu5}2用{x:ai2}{x:ke5}{x:si1}{y:wai4}表示出来，我们就得到一个关于{x:ai2}{x:ke5}{x:si5}{y:wai4}方程,根号下{x:ai2}{x:ke5}{x:si5}加{c:sei1}的平方加{y:wai4}的平方,加上根号下{x:ai2}{x:ke5}{x:si5}减{c:sei1}加{y:wai4}的平方等于2{a:ei1}

之后我们要做的就是将等式左边的根号去掉，一般方法就是两边平方，但是我们如果直接两边平方得，得到的式子十分复杂，因此我们可以先移项，再平方，那么第一次平方后,我们得到式子是，{c:sei1}{x:ai2}{x:ke5}{x:si5}等于{a:ei1}方加{a:ei1}乘以根号下{x:ai2}{x:ke5}{x:si5}减{c:sei1}的平方加{y:wai4}的平方

再次平方，我们可以根号完全去掉，化简整理后，得到，{a:ei1}方分之{x:ai2}{x:ke5}{x:si5}的平方，加上{a:ei1}方减{c:sei1}方分之{y:wai4}的平方等于一根据{a:ei1},{b:bi4},{c:sei1}之间的关系，我们知道{a:ei1}方减{c:sei1}方等于{b:bi4}方

因此，我们可以将分子上的{a:ei1}方减{c:sei1}方用{b:bi4}方替换，得到一个和圆的标准方程很像的式子，{a:ei1}方分之{x:ai2}{x:ke5}{x:si5}方加b方分之{y:wai4}方等于1就是焦点再{x:ai2}{x:ke5}{x:si5}轴上的椭圆的标准方程

而焦点在{y:wai4}轴上的椭圆的标准方程是{a:ei1}方分之{y:wai4}方加{b:bi4}方分之{x:ai2}{x:ke5}{x:si5}方等于1我们可以看到，焦点在{x:ai2}{x:ke5}{x:si4}轴上，{a:ei1}方就是{x:ai2}{x:ke5}{x:si5}方的分母，焦点在{y:wai1}轴上，{a:ei1}方就是{y:wai4}方的分母,所以，我们做题的时候，要看清，题目中椭圆的焦点到底在{x:ai2}{x:ke5}{x:si5}轴还是{y:wai4}轴后，再去画图和设方程。

同学们，今天我们学习了椭圆的定义和标准方程。希望大家课后能够通过练习巩固这些知识，并尝试自己推导方程。