平面立体的投影微课

同学们，上一节我们学习了平面的投影。点、线、平面组合在一起，就构成立体。今天我们来学习平面立体的投影。

在正式学习之前，我们先看本节课的学习目标。 第一，认识平面立体，掌握棱柱的结构特点。 第二，掌握正六棱柱三面投影的绘制方法，理解投影对应关系。 第三，学会在棱柱表面求点、求线段的投影，正确判别可见性。 第四，了解平面基本体定形尺寸的标注方法。 接下来我们开始学习。

任何复杂的建筑物，都可以拆解成若干简单立体，这些简单立体就叫做基本形体。基本形体分为两大类，平面立体和曲面立体。大家看图上这些例子，很多建筑形体，都是由不同基本形体组合而来。想要看懂建筑图纸，我们就要先掌握这些基本形体的投影规律。

这一页展示的就是平面立体。平面立体的全部表面，都是由平面多边形围成。常见的有正方体、长方体、三棱柱、六棱柱，还有三棱锥、四棱锥、四棱台。我们可以把它们分成两组，左边正方体、长方体、棱柱属于棱柱类；右边的棱锥、棱台，是另一类平面立体，接下来我们会逐一学习它们的投影特点。

接下来我们看曲面立体。曲面立体的表面，包含曲面，常见的三种就是圆柱、圆球、圆锥。和平面立体不一样，曲面立体的轮廓是光滑曲面，没有棱角。后面我们会学习这类形体的投影画法，还有在曲面表面取点的作图方法。

什么是平面立体呢？立体所有表面全部都是平面，就叫平面立体，建筑当中很多构件都属于这一类。平面立体分为棱柱体和棱锥体。 我们先看棱柱体：底面是多边形，所有棱线互相平行。棱线和底面垂直，叫做直棱柱，侧面是矩形；棱线和底面倾斜，叫做斜棱柱，侧面是平行四边形。像正方体、长方体、三棱柱、六棱柱都属于直棱柱。

屏幕上是铅垂放置的正六棱柱。它一共有 8 个表面：上下两个底面，是全等并且互相平行的正六边形；周围 6 个侧面，是全等的矩形，侧面和底面互相垂直。六条棱线互相平行、长度相等，垂直于上下底面。

我们来看这个铅垂放置正六棱柱展开后的三面投影。 先看水平投影，也就是 H 面投影，它是一个正六边形。这个六边形，就是棱柱上下底面的投影，反映底面真实大小。六个侧面作为铅垂面，投影就积聚在六边形的六条边上。 再看正面 V 面投影，是并排的三个矩形。中间的矩形，对应棱柱正前方的侧面；左右两个矩形，是左右两侧棱面的投影。上下两条水平线，就是上下底面积聚出来的直线。 最后是侧面 W 面投影，为两个矩形。它对应棱柱左右对称的棱面。上下边界同样是上下底面积聚形成的水平线。

同学们，这里要重点强调。 “长对正、高平齐、宽相等”，是绘制立体正投影的核心规律。不管画哪一种立体的三面投影，都必须严格遵守。 长对正，指正面投影和水平投影，长度方向对齐； 高平齐，正面投影和侧面投影，高度保持一致； 宽相等，水平投影和侧面投影，宽度尺寸相等。 大家在画正六棱柱，还有后面所有形体投影的时候，都要用这条规律来检查图形，保证三个视图相互对应，这是画图最基础，也是最重要的准则。

掌握棱柱整体投影之后，我们学习棱柱表面取点。 题目给出六棱柱表面 A、B、C 其中一个投影，要求我们求出另外两面投影，同时补全侧面投影。 大家回忆，六棱柱的侧面是铅垂面，水平投影具备积聚性，这个就是我们解题关键。

我们先来完成本题六棱柱自身的 W 面投影。首先根据高平齐，把正面投影的高度直接复制到侧面投影；再利用 45° 辅助线，按照宽相等，把水平投影前后方向的 Y 宽度，对应转移到 W 面。找准各条侧棱的侧面位置，依次连线，就画出六棱柱的侧面矩形轮廓。形体的 W 视图画完整之后，我们再去求解 A、B、C 这三个点的侧面投影。我们先看点 A，已知正面投影 a′，它在六棱柱前方的棱面上。 这个棱面属于铅垂面，水平投影积聚在六边形的边上。根据长对正，从 a′向下画竖直线，直接得到水平投影 a。 再用高平齐、宽相等，求出侧面投影 a″。A 点在前侧，侧面投影可见，不用加括号。

接下来看点 B，已知正面投影 b′，外面带括号，代表这个点在立体后方，正面投影不可见。 后方棱面同样是铅垂面，水平投影积聚在六边形边线。向下引投影连线得到 b。再转换 Y 坐标，求出侧面投影 b″。因为这个面在立体后部，所以 b″不可见，要加上括号。最后我们来看 C 点，已知水平投影 c，它落在六棱柱的上底面。上底面是水平面，水平投影反映实形。 根据长对正，从 c 向上画竖直线，得到正面投影 c′。再按照高平齐、宽相等，求出侧面投影 c″。C 点在上顶面，投影都是可见的。

三个点全部求完。大家记住，棱柱表面找点，优先利用表面积聚性；全部画完之后，一定要判断投影可见性，不可见的点，需要加上括号标注。