高等数学微课

同学们好，我是你们的平雅老师。今天我们进入一个全新的核心概念，定积分。如果说导数研究的是"一点处的变化"，那么定积分要解决的是"一段区间上的累积"。

先看一个实际问题。给定一条连续曲线y=f(x)，我想知道它和x轴在区间[{a:ei1 he2}{b:bi4}]上围成的这块"曲边梯形"的面积。规则图形的面积大家都会算——矩形是底乘高，三角形是底乘高除以二。但面对一条弯曲的边，我们没有任何现成公式。怎么办？核心思路就四个字——以直代曲：用我们熟悉的矩形去近似它，然后让近似越来越精确。

具体怎么做？四个步骤，请大家牢牢记住。第一步，分割：把区间[{a b]:ei1 he4 bi4} 切成n个等宽的小区间，每个宽度为{Δ:de2 er3 ta3} x 。第二步，近似：在每个小区间上任取一点ξi ，以f(ξi)为高、 {Δ:de2 er3 ta3} x为底，画一个矩形来"代替"那一小段曲边——这就是"以直代曲"。第三步，求和：把这n个小矩形面积全部加起来，得到一个和式Sn。第四步，也是最关键的一步——取极限：让n趋向无穷大，矩形越来越窄、越来越多，阶梯状图形越来越贴合曲线。当这个极限存在时，它的值就是我们要求的曲边梯形面积。

现在，我们把刚才的四步过程写成严格的数学定义。请看这个公式：f(x)从{a:ei1}到b的定积分，等于当分割最大区间长度λ趋向零时，黎曼和的极限。我们来逐一认识这些符号：积分号∫是一个拉长的字母S，代表"求和"的意思；{a:ei1}和b分别是积分的下限和上限；f(x)是被积函数；dx表示积分变量。特别提醒两点：第一，只要f(x)在区间上连续，这个极限就一定存在；第二，定积分的结果是一个确定的数值，它不依赖于你用什么字母表示变量。

定积分的几何意义非常直观。当f(x)始终非负时，定积分就等于曲线与x轴之间的面积——这是最简单的情形。但如果函数有正有负呢？请大家记住这个核心结论。x轴上方的面积取正值，x轴下方的面积取负值，定积分等于它们的代数和。所以定积分不一定等于"总面积"，它可能是正、负、甚至零。

我们用定义来验证一个简单例子：x{2:ping2 fang1}从0到1的定积分。等分区间、取右端点、代入求和公式，利用平方和公式化简后取极限，最终得到1/3。大家可以直观验证—— y=x{2:ping2 fang1}在区间[0,1] 下方的这块曲边三角形面积，确实大约是三角形面积的一半，也就是三分之一左右。

今天我们掌握了三个要点，"四步走"的核心思想、黎曼和极限的严格定义、以及有向面积代数和的几何意义。希望大家清晰掌握，那么我们下节课见！