同学们好，欢迎来到数学微课堂！今天我们要探索一个有趣的问题 —— 向量也有影子吗？没错，这就是数学中的‘投影’与‘投影向量’。接下来的4分钟，让我们一起从生活现象出发，揭开投影的神秘面纱。

我们的课堂将分为情境引入、投影长度推导以及构建投影向量三个部分

第一部分是情境引入

首先，我们来看一个生活场景：阳光下的物体会留下影子。对于向量而言，“影子”的长度就是向量在某个方向上的“投影长度”。

以这个动画为例，我们考虑如下变换：过向量B的起点C和终点D，分别作向量A所在直线的垂线，垂足分别为G,F，得到向量GF，即向量C。上述变换称为向量B向向量A投影，向量C为向量B在向量A上的投影向量，投影长度是向量C的模长。

在情境引入中，我们学习了投影向量的定义以及影响投影向量的因素。通过动画，我们可知，向量B向向量A平移对投影向量C不产生影响，向量B的模长、方向及向量A、B的夹角α均对投影向量C有影响，那么问题来了：如何计算投影长度？又该如何用数学语言描述投影向量呢？带着这两个问题，我们进入下一步探究。

接下来，老师带大家进行投影长度的推导

我们固定向量A，改变向量B的长度和它与向量A的夹角α。观察动画，当α为锐角时，投影长度可以表示为B的模长乘cosα

我们发现，当α为直角时，投影长度为0

而当α为钝角时，我们可以通过推导得出，投影长度为向量b的模长乘cos (π-α)=等于负b的模长乘cosα。综上，我们可以看到，无论向量A、B的夹角是锐角、直角还是钝角，投影长度始终等于向量b的模长乘以夹角余弦的绝对值。

通过推导，我们可知向量B对向量A投影长度始终为向量B的模长乘cosα的绝对值

接下来，我们要从‘投影长度’过渡到‘投影向量’。投影向量不仅包含长度，还需要考虑方向。

我们先引入向量A的单位向量E=向量A除以向量A的模长，它的方向与向量A相同，模长为1。显然，投影向量与E共线，AE=λE。当α为锐角时，投影向量AE与E同向，λ=b的模长乘以cosα 投影向量AE=λE=b的模长乘以cosα乘向量E；

当 α 为直角时，λ=0，故投影向量AE=0=(b的模长乘cos(π/2))乘向量E=(b的模长乘cosα)乘向量E

当 α 为钝角时，AE与向量E反向,λ=负向量b的模长乘cos(π-α) =向量b的模长乘cosα ，投影向量AE=λE=(向量b的模长乘cosα)再乘向量E。因此，无论哪种情况，投影向量都可以统一表示为 AE=(向量b的模长乘cosα) 乘向量E。

那么通过以上学习，我们可知，在任何情况下，投影向量都可以统一表示为 AE=(向量b的模长乘cosα) 乘向量E。

通过今天的学习，我们理解了投影与投影向量的定义，掌握了用公式表示投影长度和投影向量的方法。希望大家课后通过练习巩固知识，尝试用数学眼光观察生活中的投影现象。

感谢观看，我们下次课再见！

向量的投影微课堂